审计Copula投资组合选择模型应用探讨
本站原创 摘 要：Copula技术和GARCH模型，建立了投资组合的CopulaGARCH模型。该模型捕捉金融市场间的非线性性，因而可用于投资组合的风险浅析【会计论文】中。模型，并Markowitz的投资组合选择模型，对我国的一支开放式基金中信红利精选股票型证券投资基金投资组合的选择了优化，应用lingo 8.0，在收益率一定的情况下， 了风险（VaR）最小的投资组合。
会计论文范文词： CopulaGARCH模型；开放式基金；投资组合选择；VaR
中图分类号： F224 文献标识码： A文章编号：1003-7217(2011)06-0059-03
传统的VaR技术是假定单个资产收益服从正态分布，资产组合中不同的风险资产收益线性。事实上，假设经常与客观事实相违背，是有极端事件发生时，在正态分布假设下的资产组合的风险值与实际情况偏差。是在VaR的估计中，用简单的线性来描述多变量的尾部性显然是不的。多变量之间的关系最完备的刻画是它们的联合分布。为了克服线性性的弊端，将Copula函数建模来克服这些【会计论文】。Copula 函数策略会计专业论文是研究多个随机变量间性的很的策略会计专业论文。它最早由Sklar 在1959 年，在1999 年左右开始被广泛应用于金融领域，尤其是风险管理建模中。近年来,国内外对Copula 函数策略会计专业论文的研究非常活跃，它被广泛地应用于市场风险、信用风险等多个领域。与传统策略会计专业论文不同，Copula 函数策略会计专业论文不对随机变量Xi之间的性建模，对其分布函数Ui=F－1i(Xi)之间的性建模，这样做能将随机变量间的性与随机变量各自的边际分布分开，能更灵活地模拟实际情况。
C=IN=［0,1］N;
C对它的每变量递增的；
C的边缘分布Cn(•)：Cn(un)=C(1,…1,un,1,…,1)=un，u∈［0,1］，n∈［1,N］。
显然，若F1(•),…,FN(•)是一元分布函数，令un=Fn(xn)是一随机变量，则C(F1(x1),…,Fn(xn),…,FN(xN))是具有边缘分布函数F1(•),…,FN(•)的多元分布函数。
定理1.1 (Sklar定理［2］)令F为具有边缘分布F1(•),…,FN(•)的联合分布函数，那么，Copula函数C，：
F(x1,…,xn,…xN)=C(F1(x1),…,
Fn(xn),…,FN(xN))(1)
若F1(•),…,FN(•)连续，则C唯一确定；反之，若F1(•),…,FN(•)为一元分布，那么由式(1)定义的函数F是边缘分布F1(•),…,FN(•)的联合分布函数。
Copula函数C的密度函数c和边缘分布F1(•),…,FN(•)，方便地求出N元分布函数F(x1,…,xn,…,xN)的密度函数：
f(x1,…,xn,…,xN)=c(F1(x1),…,Fn(xn),
…,FN(xN))∏Nn=1fn(xn)(2)
c(u1,…,un,…,uN)=C(u1,…,un,…,uN)u1…un…uN，fn(•)是边缘分布Fn(•)的密度函数。
X为给定资产的对数收益率，即
rt=μ+at
at=σt•εt εt~N(0,1)
σ2t=α0+α1a2t-1+βσ2t-1（3）
，rt为收益率序列，μ为rt的样本均值；at为rt的波动项，用来收益率的波动性， at的形式使得GARCH模型较好描述收益率序列的特性［7］。 这里εt为标准正态分布，α0、α1和β为待估计的参数。
P(Xt+1≤rΩt)=P(at+1≤(x－μ)Ωt)=
P(σt+1εt+1≤(x－μ)Ωt)=
P(εT+1≤x－μα0+α1a2t+βσ2t)=
N(x－μα0+α1a2t+βσ2t) （4）
，Ωt为到时刻t为止的信息集．此时，式（4）即下一观测时刻收益率Xt+1的条件分布．
，估计多个资产间的矩阵R，Embrechts［8］中所阐述的策略会计专业论文，模拟出一组正态Copula函数的随机变量：
用蒙特卡罗策略会计专业论文模拟出一组独立并标准正态分布的随机数z1,z2,…,zn
应用Cholesky策略会计专业论文将矩阵R转化为n×n的矩阵A和它的转置AT的乘积：R=AAT
令wi=Azi，再令ui=Φ(wi)，Φ为一维标准正态分布函数，(u1,u2,…,un)T是矩阵为R的正态Copula函数的。
这样便将此投资组合标的资产间的性模拟为正态Copula函数．而对于标的资产的收益率ri，由ri=F－1i(ui)求出，F－1i为标的资产的收益率分布函数的逆函数［9,10］。
对各资产的收益率序列运用CopulaGARCH模型，估计其边缘分布函数Fit(•)，i=1,2,…,n及结构的Copula函数C(u1t,u2t,…,unt)，然后Monte Carlo模拟法模拟服从相应Copula函数分布的序列(u1,u2,…,un)，由边缘分布函数Fit(•)，i=1,2,…,n的逆函数计算相应的仿真资产收益率：
rit=F－1it(uit)，i=1,2,…,n（5）
rit=ln Sit－ln Si,t－1 ，i=1,2,…,n，
t=1,2,…,T（6）
从而得资产：Sit+1=Sitexp (rit+1)
设ki表示资产的份额，此时投资总额St=∑ni=1kiSit,n为投资组合的资产总数，第i个资产在投资组合权重δit=kiSitSt,显然∑Nn=1δn=1．
此时，第i个资产在持有期t,t+1内的损失率(即单位货币的平均损失)为：
it+1=Sit－Sit+1Sit=Sit－Sitexp (rit)Sit=
1－exp (rit) （7）
将全部资金St投给第i个资产，第i个资产在持有期t,t+1内的损失为：
Lit+1=Stit+1=St(1－exp (rit))（8）
单个资产的损失率，计算投资组合在持有期t,t+1内的损失率：
t+1=∑ni=1δitit+1=∑ni=1δit(1－exp (rit+1)) （9）
投资组合在持有期t,t+1内的损失为：
Lt+1=Stt+1=∑ni=1Sit(1－exp (rit+1)) （10）
在实证浅析【会计论文】时，多次模拟资产投资组合损失值Lt+1，再从经验分布中得投资组合VaR值：
P(Lt+1≤VaRαt+1)=1－α （11）
VaRαt+1表示在持有期t,t+1内、1－α置信度下的VaR值．
有了收益率和风险的定义，应用投资组合选择的均值-VaR模型。该模型是在给定期望收益下最小化投资组合的VaR。不含无风险资产时，模型可表示为：
min VaR=∑Ni=1ωiVaRi∑ni=1ωiXi=U∑ni=1ωi=1（12）
ωi表示第i支股票的权重，Xi表示第i支股票的收益率，U表示期望收益。
运用的投资组合选择的改善模型和Monte Carlo仿真技术，历史数据，U=13.4%，同时样本对(x1,x2,…,xn)，将其代入上述模型可求解最优投资组合ω相对应的VaR值。
建立了CopulaGARCH模型，该模型较好的描述金融时间序列时变的波动特性，还将变量的和模型到一研究［12,13］；了用Copula模型来浅析【会计论文】多个资产间的关系，从而为资产投资组合的选择。
基于Copula理论对我国的一支开放式基金中信红利精选股票型证券投资基金投资组合的选择了优化，建立多变量的金融时间序列模型来对金融资产的投资组合风险度量。并应用lingo8.0，在收益率一定的情况下， 了VaR最小的投资组合的权重.进而提高了我国开放式基金投资组合的风险预测的精度。这金融资产管理人更科学地管理好掌管的资产；对投资者来说，也使用投资模型自身需求来对金融资产组合投资，以此达到风险、提高收益的目的，从而使投资更加理性化。
文献：
［1］Nelson. R. B. An Introduction to Copulas ［M］.New York:Springer,1998
［2］Sklar A. Fonctions de repartition a n dimensions et leurs marges［J］.Publication de insititut de Statistique de Universite de Paris, 1959,8:229-231
［3］Rockinger. M and E. Jondeau. Conditional Dependency of Financial Series: an Application of Copulas ［D］. Working Paper of Department of Finance，HEC School of Management, Paris, 2002.
［4］Joe H. Parametric families of multivariate distributions with given marginals［J］. Journal of Multivariate Analysis, 1993,46：262-282.
[1]
［5］Roberto De Matteis. Fitting Copulas to Data［D］.IMU,Zurich,2001.
［6］Rank J，Siegl T．Applications of copulas for the calculation of VauleatRisk．in Applied Quantitative Fi．Dance［M］．Springer，2002．
［7］刘大伟，杜子平. Copula在投资组合选择与VaR计量应用理论新探［J］ 2006,3: 25-27.
［8］Embrechts, P. A. Mcneil and D. Straumann. Correlation and Dependence in Risk Management: Properties and Pitfalls, Risk Management: Value at Risk and Beyond［J］. Cambridge University Press. 1999, 176-223
［9］张明恒. 多金融资产风险价值Copula计量策略会计专业论文研究［J］. 数量经济技术经济究，2004,(4): 67-69.
［10］朱世武. 金融计算与建模理论、算法与SAS程序［M］.北京：清华大学出版社，2007,7
［11］尹向飞，陈柳钦. 基于copula的投资组合选择模型的研究［J］. 金融发展研究，2009,(2): 58-69.
［12］周义, 李梦玄. CopulaCVaR资产组合选择模型浅析【会计论文】［J］. 金融教学与研究, 2010,(2):54-58.
（责任编辑：王铁军）
Empirical Analysis about Portfolio selection of Copula
YANG Xiangyu1, GAO Nannan2
(1.College of Mathematics and Econometrics, Hunan University, Changsha, Hunan 410082, China;
2.Vipshop Electronic Information Technology Co.,LtD, Guangzhou, Guangdong 510370,China)
Abstract：In this paper, Copula and the forecast function of GARCH model are well combined, and a CopulaGARCH model is built for risk analysis of portfolio investment as it can describe the dependency structure of multi dimension random variable. By this model and Markowitz'portfolio selection model, empirical portfolio selection analysis is made in Chinese open end funds. The portfolio with minimum VaR when the yield is given is get by lingo8.0 .
Key words：Copula GARCH model; open end funds; portfolio selection; Value at risk
收稿日期： 2011-03-22
基金项目： 教育部人文社会科学研究项目 (10YJAZH103);湖南省自然科学基金资助项目（095004）
作者简介： 杨湘豫（1964—），女，湖南长沙人，湖南大学数学与计量经济学院教授，研究方向：金融数学。
[1][2]
会计论文范文词： CopulaGARCH模型；开放式基金；投资组合选择；VaR
中图分类号： F224 文献标识码： A文章编号：1003-7217(2011)06-0059-03
一、绪 论
金融市场的动荡金融危机的频发，如何对金融风险监控,进而降低风险金融界和投资者的焦点。证券投资基金的风险管理是现代金融领域的【会计论文】，对于基金管理者来说，有必要对其所管理的基金投资组合在一定时间内所面临的风险量化浅析【会计论文】，以便为潜在的损失做好准备，并依此适时调整投资组合，降低风险。传统的VaR技术是假定单个资产收益服从正态分布，资产组合中不同的风险资产收益线性。事实上，假设经常与客观事实相违背，是有极端事件发生时，在正态分布假设下的资产组合的风险值与实际情况偏差。是在VaR的估计中，用简单的线性来描述多变量的尾部性显然是不的。多变量之间的关系最完备的刻画是它们的联合分布。为了克服线性性的弊端，将Copula函数建模来克服这些【会计论文】。Copula 函数策略会计专业论文是研究多个随机变量间性的很的策略会计专业论文。它最早由Sklar 在1959 年，在1999 年左右开始被广泛应用于金融领域，尤其是风险管理建模中。近年来,国内外对Copula 函数策略会计专业论文的研究非常活跃，它被广泛地应用于市场风险、信用风险等多个领域。与传统策略会计专业论文不同，Copula 函数策略会计专业论文不对随机变量Xi之间的性建模，对其分布函数Ui=F－1i(Xi)之间的性建模，这样做能将随机变量间的性与随机变量各自的边际分布分开，能更灵活地模拟实际情况。
二、Copula函数的定义和定理
定义1.1 (Nelsen,1998)［1］N元Copula函数是指具有性质的函数C：C=IN=［0,1］N;
C对它的每变量递增的；
C的边缘分布Cn(•)：Cn(un)=C(1,…1,un,1,…,1)=un，u∈［0,1］，n∈［1,N］。
显然，若F1(•),…,FN(•)是一元分布函数，令un=Fn(xn)是一随机变量，则C(F1(x1),…,Fn(xn),…,FN(xN))是具有边缘分布函数F1(•),…,FN(•)的多元分布函数。
定理1.1 (Sklar定理［2］)令F为具有边缘分布F1(•),…,FN(•)的联合分布函数，那么，Copula函数C，：
F(x1,…,xn,…xN)=C(F1(x1),…,
Fn(xn),…,FN(xN))(1)
若F1(•),…,FN(•)连续，则C唯一确定；反之，若F1(•),…,FN(•)为一元分布，那么由式(1)定义的函数F是边缘分布F1(•),…,FN(•)的联合分布函数。
Copula函数C的密度函数c和边缘分布F1(•),…,FN(•)，方便地求出N元分布函数F(x1,…,xn,…,xN)的密度函数：
f(x1,…,xn,…,xN)=c(F1(x1),…,Fn(xn),
…,FN(xN))∏Nn=1fn(xn)(2)
c(u1,…,un,…,uN)=C(u1,…,un,…,uN)u1…un…uN，fn(•)是边缘分布Fn(•)的密度函数。
三、投资组合选择模型的改善
Copula 函数策略会计专业论文与GARCH理论，并引进VaR（Value at Risk，在险价值）风险量化指标讨论投资组合的风险浅析【会计论文】和最优化【会计论文】［3］，并将该策略会计专业论文用于我国开放式基金的最优投资组合选择上。这里，以Markowitz 投资组合模型，对传统的最优投资组合选择模型从三了改善［4，5］：1.对单个资产收益率条件分布估计。
Markowitz 投资组合模型在浅析【会计论文】投资组合标的资产中各自的收益率分布函数时，传统的做法是假设Xt服从一维高斯分布函数，或服从经验分布函数。将标的资产的收益率分布模拟为高斯分布函数的做法对分布函数的中部模拟得比较准确，但高斯分布尾部较薄，现实市场上的分布通常表现出一定的厚尾性，因此应用高斯分布函数对尾部模拟的误差。2.对风险量化指标的选择。
在 Markowitz 的模型中以方差来度量投资组合的风险，做法在处理由多个资产组成的投资组合时计算量非常大，并且在各资产的协方差矩阵逆时，该模型将意义上的最优投资组合的解。在Markowitz 模型的上，引入VaR风险度量指标求解最优投资组合［6］。3.对多个资产间的性的计量。
传统做法假设投资组合回报率的分布服从多维高斯分布、多维Student-t分布或经验分布，这样做会使模型过于单一，【会计论文】浅析【会计论文】。，高斯分布函数的尾部性很差，这与现实不符。现实尾部，尤其是极限尾部都呈现出的厚尾性，而多维高斯分布所不的。应用Copula 函数策略会计专业论文模拟投资组合资产间的相关性。四、基于Copula的投资组合选择模型
，应用GARCH理论来对单个资产的对数收益率边际分布建模.设给定资产在t日的为St，它在时间段(t,t+1)内的对数收益率为rt+1， 则有rt+1=ln St+1St，显然rt（固定时间t）为一随机变量。X为给定资产的对数收益率，即
rt=μ+at
at=σt•εt εt~N(0,1)
σ2t=α0+α1a2t-1+βσ2t-1（3）
，rt为收益率序列，μ为rt的样本均值；at为rt的波动项，用来收益率的波动性， at的形式使得GARCH模型较好描述收益率序列的特性［7］。 这里εt为标准正态分布，α0、α1和β为待估计的参数。
P(Xt+1≤rΩt)=P(at+1≤(x－μ)Ωt)=
P(σt+1εt+1≤(x－μ)Ωt)=
P(εT+1≤x－μα0+α1a2t+βσ2t)=
N(x－μα0+α1a2t+βσ2t) （4）
，Ωt为到时刻t为止的信息集．此时，式（4）即下一观测时刻收益率Xt+1的条件分布．
，估计多个资产间的矩阵R，Embrechts［8］中所阐述的策略会计专业论文，模拟出一组正态Copula函数的随机变量：
用蒙特卡罗策略会计专业论文模拟出一组独立并标准正态分布的随机数z1,z2,…,zn
应用Cholesky策略会计专业论文将矩阵R转化为n×n的矩阵A和它的转置AT的乘积：R=AAT
令wi=Azi，再令ui=Φ(wi)，Φ为一维标准正态分布函数，(u1,u2,…,un)T是矩阵为R的正态Copula函数的。
这样便将此投资组合标的资产间的性模拟为正态Copula函数．而对于标的资产的收益率ri，由ri=F－1i(ui)求出，F－1i为标的资产的收益率分布函数的逆函数［9,10］。
对各资产的收益率序列运用CopulaGARCH模型，估计其边缘分布函数Fit(•)，i=1,2,…,n及结构的Copula函数C(u1t,u2t,…,unt)，然后Monte Carlo模拟法模拟服从相应Copula函数分布的序列(u1,u2,…,un)，由边缘分布函数Fit(•)，i=1,2,…,n的逆函数计算相应的仿真资产收益率：
rit=F－1it(uit)，i=1,2,…,n（5）
rit=ln Sit－ln Si,t－1 ，i=1,2,…,n，
t=1,2,…,T（6）
从而得资产：Sit+1=Sitexp (rit+1)
设ki表示资产的份额，此时投资总额St=∑ni=1kiSit,n为投资组合的资产总数，第i个资产在投资组合权重δit=kiSitSt,显然∑Nn=1δn=1．
此时，第i个资产在持有期t,t+1内的损失率(即单位货币的平均损失)为：
it+1=Sit－Sit+1Sit=Sit－Sitexp (rit)Sit=
1－exp (rit) （7）
将全部资金St投给第i个资产，第i个资产在持有期t,t+1内的损失为：
Lit+1=Stit+1=St(1－exp (rit))（8）
单个资产的损失率，计算投资组合在持有期t,t+1内的损失率：
t+1=∑ni=1δitit+1=∑ni=1δit(1－exp (rit+1)) （9）
投资组合在持有期t,t+1内的损失为：
Lt+1=Stt+1=∑ni=1Sit(1－exp (rit+1)) （10）
在实证浅析【会计论文】时，多次模拟资产投资组合损失值Lt+1，再从经验分布中得投资组合VaR值：
P(Lt+1≤VaRαt+1)=1－α （11）
VaRαt+1表示在持有期t,t+1内、1－α置信度下的VaR值．
有了收益率和风险的定义，应用投资组合选择的均值-VaR模型。该模型是在给定期望收益下最小化投资组合的VaR。不含无风险资产时，模型可表示为：
min VaR=∑Ni=1ωiVaRi∑ni=1ωiXi=U∑ni=1ωi=1（12）
ωi表示第i支股票的权重，Xi表示第i支股票的收益率，U表示期望收益。
五、开放式基金投资组合选择的实证研究
选取我国的一只开放式基金中信红利精选股票型证券投资基金的前十大重仓股构成的投资组合为研究。采集的数据是：2008，10，8~2008，12，31的每天的收盘价。运用的投资组合选择的改善模型和Monte Carlo仿真技术，历史数据，U=13.4%，同时样本对(x1,x2,…,xn)，将其代入上述模型可求解最优投资组合ω相对应的VaR值。
六、结 论
为了风险，投资者会对金融资产组合投资来对冲风险．这就要求投资者要硕士论文资产间的性，但金融市场的时变、波动、非线性等特点使得各资产间的性也复杂多变．Copula理论将此【会计论文】简单化，它将资产的边缘分布和资产间的结构分开来研究，资产间的结构由Copula函数来描述．使用Copula函数克服上述多元统计分布函数估计中的【会计论文】［11］。建立了CopulaGARCH模型，该模型较好的描述金融时间序列时变的波动特性，还将变量的和模型到一研究［12,13］；了用Copula模型来浅析【会计论文】多个资产间的关系，从而为资产投资组合的选择。
基于Copula理论对我国的一支开放式基金中信红利精选股票型证券投资基金投资组合的选择了优化，建立多变量的金融时间序列模型来对金融资产的投资组合风险度量。并应用lingo8.0，在收益率一定的情况下， 了VaR最小的投资组合的权重.进而提高了我国开放式基金投资组合的风险预测的精度。这金融资产管理人更科学地管理好掌管的资产；对投资者来说，也使用投资模型自身需求来对金融资产组合投资，以此达到风险、提高收益的目的，从而使投资更加理性化。
文献：
［1］Nelson. R. B. An Introduction to Copulas ［M］.New York:Springer,1998
［2］Sklar A. Fonctions de repartition a n dimensions et leurs marges［J］.Publication de insititut de Statistique de Universite de Paris, 1959,8:229-231
［3］Rockinger. M and E. Jondeau. Conditional Dependency of Financial Series: an Application of Copulas ［D］. Working Paper of Department of Finance，HEC School of Management, Paris, 2002.
［4］Joe H. Parametric families of multivariate distributions with given marginals［J］. Journal of Multivariate Analysis, 1993,46：262-282.
[1]
［5］Roberto De Matteis. Fitting Copulas to Data［D］.IMU,Zurich,2001.
［6］Rank J，Siegl T．Applications of copulas for the calculation of VauleatRisk．in Applied Quantitative Fi．Dance［M］．Springer，2002．
［7］刘大伟，杜子平. Copula在投资组合选择与VaR计量应用理论新探［J］ 2006,3: 25-27.
［8］Embrechts, P. A. Mcneil and D. Straumann. Correlation and Dependence in Risk Management: Properties and Pitfalls, Risk Management: Value at Risk and Beyond［J］. Cambridge University Press. 1999, 176-223
［9］张明恒. 多金融资产风险价值Copula计量策略会计专业论文研究［J］. 数量经济技术经济究，2004,(4): 67-69.
［10］朱世武. 金融计算与建模理论、算法与SAS程序［M］.北京：清华大学出版社，2007,7
［11］尹向飞，陈柳钦. 基于copula的投资组合选择模型的研究［J］. 金融发展研究，2009,(2): 58-69.
［12］周义, 李梦玄. CopulaCVaR资产组合选择模型浅析【会计论文】［J］. 金融教学与研究, 2010,(2):54-58.
（责任编辑：王铁军）
Empirical Analysis about Portfolio selection of Copula
YANG Xiangyu1, GAO Nannan2
(1.College of Mathematics and Econometrics, Hunan University, Changsha, Hunan 410082, China;
2.Vipshop Electronic Information Technology Co.,LtD, Guangzhou, Guangdong 510370,China)
Abstract：In this paper, Copula and the forecast function of GARCH model are well combined, and a CopulaGARCH model is built for risk analysis of portfolio investment as it can describe the dependency structure of multi dimension random variable. By this model and Markowitz'portfolio selection model, empirical portfolio selection analysis is made in Chinese open end funds. The portfolio with minimum VaR when the yield is given is get by lingo8.0 .
Key words：Copula GARCH model; open end funds; portfolio selection; Value at risk
收稿日期： 2011-03-22
基金项目： 教育部人文社会科学研究项目 (10YJAZH103);湖南省自然科学基金资助项目（095004）
作者简介： 杨湘豫（1964—），女，湖南长沙人，湖南大学数学与计量经济学院教授，研究方向：金融数学。
[1][2]