动态经济系统浅析之经济计量模型与方式
本站原创 >动态经济系统浅析浅析的经济计量模型与策略
摘要:综述可有效阐明动态经济系统长期关系和因果关系的因果测度理论.首先扼要先容多变量时间序列的协整过程及与此相关的若干概念,并总结了在经济计量学领域评价较高的多变量自回归模型的统计识别策略.基于计量经济学论文多变量时间序列协整过程的向量自回归模型,较具体讨论了多变量时间序列间各种因果测度的定义及其沃尔德检修.所述单方向因果测度及其统计检修理论作为C?W.J.Granger非因果性理论的扩张,不仅可以检修两组时间序列间的因果影响存在与否,还可以定量描述影响的程度.单方向因果测度理论为浅析浅析复杂经济系统提供了一种有效手段.
枢纽词:动态经济系统;经济计量模型;协整浅析浅析;长期经济关系;因果关系
Abstract:In this paperwe mainly discuss the one_way effect causal measureswhich can be applied tothe analysis oflong_run and short_run aswell as causal characteristics of dynamic economic system. We first summarized the relat-ed concepts of cointegration, and then showed the procedure of cointegratedmodel identification. Based on the iden-tified error correction model, we discussed causal measures in time domain and frequency domain. The presentedWald test of the causal measure is incorporation Johansen’s algorithm for the maximum likelihood estimates and thelikelihood ratio tests. Usingthe Wald statistics, the paper also showed the computational algorithmof confidence_setconstruction for the overall causal measures. For the purposes of testing long_run or short_run characterization ofcausal relation, a varietyof causal measures are introduced bymeans ofthe integral ofthe frequency_wise measure ofone_way effect on specific frequency bands. In contract to the conventional tests of Granger’s non_causality whichamount to testing the hypothesis of zero restriction of a certain set of autoregressive coefficients, the approach of thispaper enables us to test not only Granger’s non_causality but also the strength of the one_way effect. The one_wayeffect causal analysis can be considered as an effective approach for the investigation of complex economic system.
Key words:dynamic economic system; econometric model; cointegration analysis; long_run economic relationship;causal relationship
引 言
经济流动的高度国际化及科学技术提高的加速,影响社会经济发展的因素变得繁多复杂,经济发展日趋不不乱.表现在现实出产流动中的主要现象是所观测到的很多经济统计指标时间序列都表现出了非平稳性.传统的统计学和经济计量浅析浅析策略几乎无法充分揭示如斯复杂的动态经济系统的运行机制及正确猜测未来.时间序列因果关系浅析浅析理论有助于阐明动态经济系统各主要指标间的复杂关系,进步猜测精度及效率.这是制定有效的经济调控政策,确保经济高速不乱发展的条件.尽管时间序列浅析浅析策略理论比较复杂,但现代计算机技术的高度发展保证了有效地将其应用于现实经济题目的实证浅析浅析.研究表明协整时间序列单方向因果测度理论不失为浅析浅析复杂经济系统的一种有效手段.为探讨两组时间序列间因果作用的方向性及反馈的存在性,格兰杰(Granger)[1]提出了非因果性概念.非因果性作为评价猜测效果的一个统计尺度,基于两个最基本假设:1)理由老是在结果之前;2)未来不影响过去.考虑平稳时间序列X(t)和Y(t),记U(t)为猜测X(t)时可以利用的所有信息,则{U(t)- Y(t)}为猜测X(t)时除去Y(t)以外的所有可利用信息.令U[1](t)表示U(t)的过去值,即{U(t-j);j=1,2,…,∞},记σ2(X | U[1])和σ2(X | (U- Y)[1])分别为利用{U(t)}和{U(t)- Y(t)}猜测平稳过程X(t)所产生的最小二乘无偏估计残差序列的方差.假如σ2(X | U[1]) <σ2(X | (U- Y)[1]),称在格兰杰意义下Y(t)引起X(t),表记为Y(t) X(t).也就是说,Y(t)引起X(t)意味着引入Y(t)的信息可更有效地猜测X(t).换句话说.假如Y(t)不在格兰杰意义下引起X(t),即σ2(X| U[1])≥σ2(X|(U- Y)[1]),则Y(t)无助于猜测X(t).关于多变量时间序列间非因果性的统计检修,两个早期研究值得一提.一个是格兰杰的平稳向量自回归(VAR)模型回归系数的零检修,另一个是西姆斯(Sims,1972)的关于二变量平稳移动均匀(MA)过程有关系数的零检修.近30年来国收稿日期:2002-01-25;修订日期:2002-06-12.基金项目:日本文部科学省1998—2000年度科研费资助项目(国际学术研究10045016)?作者简介:姚 峰(1960—),男,经济学博士,香川大学经济学部教授.外学者固然在这一研究领域取得了一些重要成果,但到目前为止几乎所有的研究都仅局限于格兰杰的非因果性.为了定量描述多变量时间序列间单方向因果关系,细谷(Hosoya)[2,3]分别定义了频谱域和时间域的三个因果测度,依次有效地描述了非确定趋势二阶平稳过程和非平稳过程内部变动的相互依存关系,奠定了单方向因果浅析浅析(one_way effect causal analysis)的理论基础.为了研究非平稳宏观经济时间序列的长期均衡关系以及因果关系,姚和细谷(Yao andHosoya)[8]研究了多变量协整过程单方向因果测度的计算机制题目,并首先将单方向因果测度应用于日本宏观经济的实证浅析浅析.为检修听从协整过程的时间序列间的因果测度并给出其信赖域,Yao and Hosoya[9]给出了单方向因果测度的沃尔德统计量(Wald statistic),从根本上解决了将单方向因果测度应用于浅析浅析复杂动态经济系统的基础理论题目.与格兰杰等人的非因果性检修不同的是,所提出的单方向因果测度及其沃尔德检修,可以从统计学的意义上检修听从多变量非平稳协整(包括平稳)过程的时间序列间任意大小的因果测度的明显性,格兰杰非因果性检修只是我们所定义的全测度(overall measure of one_way effect,OMO)为零的统计检修的一个特例.也就是说,我们不仅可以检修时间序列间的因果关系存在与否,还可以检修单方向因果影响的强度.另外,通过对定义在频谱区间(-π,π]内的单方向频谱测度(frequency_wise measure of one_way effect,FMO)在特定谱域上积分所得到的局部测度,也可探讨多变量时间序列间的长期或短期因果关系.限于篇幅,有关因果浅析浅析的其他理论研究及因果测度在实证经济浅析浅析中的应用等具体内容,可参阅Hosoya and Yao (1999).本文使用了以下通用的数学记号及算子定义.记IP为p阶单位矩阵,1p为所有元素都是1的p维向量.A*指复数矩阵A的共轭转置;假如A为实数矩阵,则A*表示一般意义下的转置矩阵.对于随机向量X或一组随机向量X和Y,cov(X)和cov(X,Y)分别表示X和(X,Y)的协方差矩阵.矩阵C的迹(trace)记为trC,而其行列式记为detC.滞后算子L定义为Lxt= xt-1;差分算子记为Δ=1-L.1 协整过程及自回归模型的统计识别记ω(t)为白噪声过程,考虑天生于y(t) =ɑy(t-1)+ω(t) (t =1,2,…)(1)的单变量时间序列{y(t)}.当ɑ=1时,称由式(1)所天生的时间序列y(t)听从单位根过程.由于此时式(1)相称于Δy(t) =ω(t),有时也称y(t)听从一阶积分过程(integrated of order one),记为y(t)~I(1).通常称平稳过程或白噪声过程为0阶积分过程.对于非平稳时间序列y(t),假如存在正整数k使得Δjy(t)非平稳(j =1,2,…,k-1),但是Δky(t) ~ I(0),则称y(t)为k阶积分过程,记为y(t) ~ I(k).不管理论研究仍是探讨实证浅析浅析题目,当涉及非平稳过程时,人们通常把留意力集中在单位根过程,即I(1)过程.之所以如斯是由于在现实的社会经济流动中,固然有很多统计指标的时间序列表现出非平稳特点,但经一次差分变换后这些非平稳时间序列近似地听从平稳过程.非平稳时间序列的协整(亦称共积)过程可视为知足一定前提的向量单位根过程.对于一个p维向量时间序列Z(t),假如其每个元素都是I(1),即非平稳含单位根过程,而存在某个非零p维向量β1使得各序列的线性组合β*1Z(t)为平稳过程或β*1Z(t) ~ I(0),则称Z(t)为协整的.非平稳多变量时间序列Z(t)听从协整过程,意味着尽管诸多因素引起Z(t)的各元素相对独立地变化,但存在线性组合β*1Z(t)将Z(t)的各个要素联系在一起,这一联系揭示了Z(t)各元素间内在的长期均衡关系.在此情形下,称β1为非平稳过程Z(t)的协整向量.显然,非平稳过程Z(t)存在协整关系时,协整向量不是独一的.任何非零常数与协整向量相乘都给出一个新的协整向量.因此,一般都要对协整向量施以相应的尺度化.另外,假如存在r (r < p)个线性无关的p维向量β= (β1,β2,…,βr),使得β*Z(t)为r维平稳过程,则Z(t)的元素间存在r个协整关系,而(β1,β2,…,βr)称为协整向量空间的基.动态经济系统浅析浅析的经济计量模型与策略约翰森(Johansen,1991)提出的完全信息极大似然法,可以浅析浅析识别协整过程的似然比检修理论及其他参数的一般最小二乘估计题目.用这一策略估计协整系统的相应参数,一方面可避开因施加特定的制约前提导致模型的错误设定,另一方面可更一般地检修存在多个协整关系的零假设[5,10].研究时间序列浅析浅析中广泛应用的p维AR(a)过程Z(t)ΔZ(t) =ΠZ(t-1)+∑ɑ-1k=1Γˉ(k)ΔZ(t-k)+μ+ΦP(t)+ε(t) (2)其中:ε(t)(t =1,…,T)为均值为零协方差矩阵Σ的p维白噪声过程;μ是p维向量;P(t)是(sd-1)维化季节虚拟变数向量,sd是季节周期数,对于季度统计数据,sd=4.随机过程Z(t)具有相互独立的r个协整关系的假设为H(r)∶Π=αβ*(3)α,β是p×r阶满秩矩阵(r≤p),使得式(2)中Z(t-1)的系数矩阵的秩数为r,即rɑnk(Π) =r.r亦称为随机过程Z(t)的协整阶数.假如r =0,则式(2)退(责任编辑：会计论文)>上海经济论文化为单位根过程.假如r = p,则Π为满秩矩阵,Z(t)为平稳随机过程.可见,在有r个协整关系的假设下,只有Z(t-1)水平上的r个不同的线性限制β*Z(t-1)泛起在模型中.在Π=αβ*的假设下,模型(2)称为误差修正模型(ECM),β*Z(t-1)以速度α将动态系统调整向均衡过程.记R0(t)和R1(t)分别为将Z(t -1)在ΔZ(t-1),…,ΔZ(t-k+1),1p,P(t)上回归所产生的残差序列,p×p阶矩阵Sij(i,j =0,1)为R0(t)和R1(t)的方差协方差矩阵,Sij=T-1∑Tt=1Ri(t)Rj(t)*.协整个数r和协整向量β的极大似然估计的计算过程如下:1)首先解λ的p阶矩阵方程|λS11-S10S-100S01|=0,给出降序排列的特点根1>λ1>λ2>…>λp>0,以及对应的特点向量矩阵V=(V1,V2,…,Vp),并使V知足尺度化关系V*S11V= I.2)识别听从p维协整过程的统计模型的枢纽在于检修λ1,λ2,…,λp中有多少个非零特点根.在Z(t)的元素中有r个协整关系的零假设H(r)下,模型参数β的极大似然估计为β= (V1,V2,…,Vr).零假设H(r)对H(p)的对数似然比检修统计量τtrɑct(r)称为迹统计量,简记为τ(r) =-T∑pi=r+1ln(1-λi) (4)统计量τ(r)的渐近分布长短尺度的,统计检修的临界值表需要通过蒙特卡洛实验给出.在几乎没有把握关于r的事前信息的情况下,一般按如下步骤确定协整个数r^ :对给定的明显性水平α,记τ(i |1-α)为τ(i)的置信度为(1-α)的理论值,^τ(i)为τ(i)的观测值,i =1,2,…,p.假如^τ(0)<τ(0|1-α),取r^ =0;对于r=1,…,p-1,取r^为第一个r,使其知足^τ(r-1)>τ(r-1|1-α),并且^τ(r)<τ(r|1-α);假如不存在这样的r,则取r^ = p.在实证经济浅析浅析中通常还要考虑各指标间的经济学意义下的关系.另外,为了将单方向因果测度及其沃尔德统计检修理论应用于宏观经济浅析浅析,要求建立能充分反映样本观测值的动态过程的模型.为避开模型的误导,往往还要对被识别的向量自回归模型的残差序列进行非自相关性以及正态性等检修.
2 单方向因果测度
2.1 平稳过程的单方向因果测度定义单方向因果测度的基本思路,源于平稳随机过程的猜测理论.假设{U(t),V(t) | t =1,…,∞}是均值为零的平稳过程,而U(t)和V(t)分别是p1和p2维的实值向量(p = p1+p2).记{U(t),V(t)}的p×p阶谱密度函数矩阵为f(λ) =f11(λ)f12(λ)f21(λ)f22(λ),-π<λ≤π其中:f11(λ)是{U(t)}的p1×p1阶谱密度函数矩阵;f12(λ)是{U(t)}和{V(t)}的p1×p2阶交差谱密度函数矩阵.假如f(λ)知足∫π-πlog detf(λ)dλ>-∞,则谱密度函数矩阵f(λ)可分解为f(λ) =12πΛ(e-iλ)*,其中:Λ(e-iλ)是复平面单位圆{z∶|—76—管 理 科 学 学 报2003年4月z |<1}内无根的p×p阶矩阵值剖析函数Λ(z)的边界值.V(t)单方向影响猜测U(t)的成分是在格兰杰意义上影响U(t)但不受反馈影响的成分,可以从V(t)中将其分解出来,记为V0,-1(t)[2].记{U(t),V(t)}的一期猜测误差方差协方差矩阵Σ的p1和p2阶分块矩阵为Σij,则{V0,-1(t)}的协方差矩阵为Σ22-Σ21Σ-111Σ12,而随机过程{U(t),V0,-1(t)}的谱密度矩阵可表述为p1和p2阶分块矩阵~f(λ) =~f11(λ)~f12(λ)~f21(λ)~f22(λ)~f11(λ) = f11(λ);~f21(λ) = {-Σ21Σ-111,Ip2}Λ(0)Λ(e-iλ)-1.f?1(λ),f?1(λ)是矩阵f(λ)的最初p1列;~f22(λ)=12π{Σ22-Σ21Σ-111Σ12}.基于格兰杰的因果概念,定义V对U的单方向谱域因果测度(FMO)为MV→U(λ) =log[detf11(λ)/det{f11(λ)-~f12(λ)~f-122(λ)~f21(λ)}] (5)因此,V对U的单方向全测度(OMO)可表述为MV→U=12π∫π-πMV→U(λ)dλ(6)在格兰杰非因果性意义下, {V(t)}不引起{U(t)}的充分必要前提是MV→U=0.2.2 非平稳过程的单方向因果测度为了将非确定趋势平稳过程的因果测度理论扩展到非平稳过程时间序列,考查由A(L)X(t)Y(t)=U(t)V(t)A(L) =∑lj=0A11,jLj 00 ∑lj=0A22,jLj天生的非平稳随机过程{X(t),Y(t)}.其中,{U(t),V(t)}是如前定义的平稳过程,p×p的滞后算子多项式矩阵A(L)知足A11,0= Ip1,A22,0=Ip2,l为正整数.由于{X(t),Y(t)}的单方向因果关系结构完全取决于可猜测性,所以其单方向因果关系结构与{U(t),V(t)}的单方向因果关系结构一致.也就是说,{X(t)}和{Y(t)}之间的OMO和FMO与其天生过程{U(t)}和{V(t)}之间的OMO和FMO完全一致.这是将平稳过程的单方向因果测度理论扩展到非平稳过程的基本思惟.在一定前提下,可以证实{Y(t)}不引起{X(t)}的充分必要前提是{V(t)}不引起{U(t)}.因此有定义1 时间序列{Y(t)}对{X(t)}单方向全测度和频谱域测度分别定义为MY→X≡MV→U和MY→X(λ)≡MV→U(λ)2.3 协整过程的单方向因果测度为了将以上讨论的单方向因果测度理论应用于复杂动态经济系统的实证浅析浅析,接下来讨论ɑ阶p维向量自回归过程Z(t) = (X(t)*,Y(t)*)*.Z(t) =∑ɑj=1Π(j)Z(t-j)+ε(t) (t =0,1,…) (7)其中:Π(j)(j=1,2,3,…,ɑ)是p×p阶系数矩阵;{ε(t)}是p维白噪声过程,且E(ε(t)) =0,cov(ε(t)) =Σ,rɑnkΣ= p?设A(L) = Ip-∑ɑj=1Π(j)Lj,detA(z)的复数解全在单位圆周上或在单位圆之外.假如用C(L)表示A(L)伴随矩阵,则C(L)A(L)≡D(L).D(L)是对角矩阵,并且其共同的对角元素d(L)≡detA(L) =∑bj=0djLj,d(L)作为具有标量系数滞后算子多项式使得d0=1,且z的多项式函数∑bj=0djzj的复数解全在单位圆周上或在单位圆之外.由等式(7)可得A(L)Z(t) =ε(t)对等式两边左乘C(L),可得d(L)Ip1 0 0 d(L)Ip2X(t)Y(t)= C(L)ε(t)≡U(t)V(t)(8)这里,U(t)和V(t)分别为p1和p2维随机向量.基于以上的构造,{U(t),V(t)}为平稳移动均匀过程.因此,根据定义1,非平稳过程{X(t),Y(t)}的单方向测度完全由平稳过程{U(t),V(t)}的对应因果测度所确定.由于detC(z)的复数解全在单位圆周上或在单位圆之外,{X(t),Y(t)}的一期猜测误差的协方差矩阵为Σ,由式(8)天生时间序列{X(t),Y(t)}的平稳随机过程的频谱响应函数Λ(e-iλ)和谱密度矩阵f(λ)分别为Λ(e-iλ) = C(e-iλ)Σ1/2(9)f(λ) =12πΛ(e-iλ)Λ(e-iλ)*(10)其中:协方差矩阵Σ的乔利斯基因子(Choleskyfactor)Σ1/2知足Σ=Σ1/2(Σ1/2)*.利用式(10)定义的谱密度函数f(t),时间序列{X(t)}和{Y(t)}之间的单方向因果测度可以通过式(5)和(6)计算.2.4 其他因果测度的定义基于{X(t)}和{Y(t)}之间的OMO和FMO,可以给出很多反映长期或短期因果关系的单方向因果测度.假如MY→X≠0,对于比较小的正数δ,单方向因果影响的长期贡献度可表记为定义于一低频区间(-δ,δ]的测度DY→X(δ) =1π∫δ0MY→X(λ)dλ/MY→X(11)有些情况下,可能对特定时间周期带[t1,t2](2≤t1< t2)的因果影响相对贡献度更感爱好,可以将测度函数定义为DY→X(t1,t2) =1π∫2π/t12π/t2MY→X(λ)dλ/MY→X(12)这里,利用了时间t和频率λ(λ>0)的关系式t =2π/λ.由于单方向因果测度非负,假如MY→X<∞,则DY→X(δ)和DY→X(t1,t2)(2≤t1< t2)在区间[0,1]内取值.长期因果影响的程度也可以计算.例如,利用定义DY→X(δ) =1δ∫δ0MY→X(λ)dλ(13)的长期因果测度(低频域频谱测度FMO的均值)浅析浅析两组时间序列间的长期因果关系.为了评价周期带[t1,t2]上的单方向全因果测度,可利用局部因果测度DY→X(t1,t2) =t1t22π(t2- t1)∫2π/t12π/t2MY→X(λ)dλ(14)由以上定义可知,DY→X(δ)和DY→X(t1,t2)均为非负测度函数.观测值DY→X(δ)比较小时,通常表示不存在Y对X的单方向长期因果影响.比较小的观测值DY→X(t1,t2)通常表明在时间周期带[t1,t2]内不存在Y对X的单方向影响.不管在哪种情况下,评价基于观测值估计的单方向因果测度,都需要严格的统计检修.(责任编辑：会计论文)>
3 单方向因果测度的统计检修向量算子vec将m×n阶矩阵A转换为m?n维向量,其构成方式是将矩阵A的各列首尾顺次连接起来.对于对称矩阵A(m= n时),向量算子v将向量vecA中的原本为矩阵A的上三角元素全部除去后所得n(n+1)/2维向量.矩阵算子 表示克罗奈克内积.考虑天生于下式的p维I(1)随机过程{Z(t)} = {X(t)*,Y(t)*}*ΔZ(t)=αβ*Z(t-1)+∑ɑ-1k=1Γ(k)ΔZ(t-k)+ μ+ΦP(t)+ε(t) (15)设θ为β的元素构成的r?p维向量,θ=vecβ*.记nψ=p?(r+p?(ɑ-1))+p?(p+1)/2,设ψ为由α和Γ(j)(j=1,2,…,ɑ-1)的元素以及除去Σ的上三角元素构成的nψ维向量,即ψ=vec(vec(α,Γ)*,v(Σ)),Γ= {Γ(1),Γ(2),…,Γ(ɑ-1)}.v(Σ)是由协方差矩阵Σ中不重复元素构成的p?(p+1)/2维向量.基于模型(15),可知天生非平稳随机过程{Z(t)}的平稳过程的谱密度矩阵函数f(λ|θ,ψ)具有典型分解f(λ|θ,ψ) =12πΛ(e-iλ|θ,ψ)?Λ(e-iλ|θ,ψ)*(16)其中:频谱响应函数Λ(e-iλ|θ,ψ) = C(e-iλ|θ,ψ)Σ1/2,C(e-iλ|θ,ψ)是模型参数构成的复数值矩阵多项式Ip-e-iλ(Ip+αβ*)-∑ɑ-1j=1Γ(j)(e-ijλ-e-i(j+1)λ)的伴随矩阵.利用谱密度矩阵函数f(λ|θ,ψ),可以根据式(5)计算{Y(t)}对{X(t)}的单方向因果测度MY→X(λ|θ,ψ),进而可以定义作为(θ,ψ)的函数的单方向全测度OMOG(θ,ψ) =12π∫π-πMY→X(λ|θ,ψ)dλ(17)这种情况下,假设G(θ,ψ)是关于参数(θ,ψ)的可微分函数.假如(θ,ψ)是模型参数的真值,(^θ,^ψ)是其—78—管 理 科 学 学 报2003年4月极大似然估计值,则当样本数T→∞时,T(^θ-θ)渐近听从多变量混合正态分布, T(^ψ-ψ)渐近听从多变量正态分布.通过泰勒级数展开,可以证实G(^θ,^ψ)是G(θ,ψ)的依照T收敛的一致估计.进一步可知, T{G(^θ,^ψ)- G(θ,ψ)}渐近听从均值为零,协方差矩阵为H(θ,ψ) = DψG(θ,ψ)*Ψ(θ,ψ)?DψG(θ,ψ) (18)的多变量正态分布,DψG是G(θ,ψ)的偏导函数构成的nψ维向量,而Ψ(θ,ψ)是T(^ψ-ψ)的协方差矩阵.因此,单方向因果测度G(θ,ψ)的沃尔德统计量W≡T{G(^θ,^ψ)-G(θ,ψ)}2/H(^θ,^ψ) (19)渐近听从自由度为1的x2分布.评价取值为(^θ,^ψ)的G(θ,ψ)对ψ的偏微分DψG(θ,ψ),可采用数值微分Gψi≈{G(^θ,^ψ+hi)-G(^θ,^ψ-hi)}/(2h) i =1,2,…,nψ(20)式中:hi是nψ维向量,其第i个元素为h,并且所有其他元素为零;h是充分小的正数.式(18)中协方差矩阵Ψ(θ,ψ)的数值计算,可按如下方式进行.设ψ(1)=vec{α,Γ},ψ(2)=vec(μ,Φ),ψ(3)= v(Σ),并设ψ(12)=vec(ψ(1),ψ(2)).记D为p2×p?(p+1)/2阶复制矩阵,D+为矩阵D的Moore_Penrose转置矩阵[6],^ψ(12)和^ψ(3)分别为ψ(12)和ψ(3)的极大似然估计.可以证实模型参数向量T{^ψ(12)-ψ(12)}和T(^ψ(3)-ψ(3))的渐近协方差矩阵为^Σ Q^-10 0 2D+(^Σ ^Σ)D+*其中:Q^ =limT→∞(1/T)∑Tt=1S^ (t)S^ (t)*,而S^ (t) =vec(^β*Z(t-1),ΔZ(t-1),…,ΔZ(t-ɑ-1),1p,P(t)).T(^ψ(1)-ψ(1))的渐近协方差矩阵,即Ψψ(1)ψ(1)是除去^Σ Q^-1中对应于T(^ψ(2)-ψ(2))的行和列余下的子矩阵.事实上,可以将(p?(r + p?(ɑ-1)) + p?sd)阶对称矩阵^Σ Q^-1写成p×p的分块矩阵形式,所有的子矩阵^σijQ^-1(i,j=1,2,…,p)都是(r+p?(ɑ-1)+sd)阶的正方矩阵.协方差矩阵Ψψ(1)ψ(1)由除去子矩阵^σijQ^-1中最后sd列和最后sd行所余子矩阵构成.假如^Ψψ(1)ψ(1)是在点(^θ,^ψ)评价T(^ψ(1)-ψ(1))的协方差矩阵,则^Ψψ(1)ψ(1) 0 02D+(^Σ ^ΣD+*)可以作为Ψ(θ,ψ)的一致估计.通过式(18)和(20),可以得到协方差估计H^ = H(^θ,^ψ).记G01为已知标量,单方向因果测度的零假设为G(θ,ψ)= G01,统计检修可由式(19)定义的沃尔德统计量W进行.为检修格兰杰的非因果性,仅需取G01=0,此时沃尔德统计量将简化为W= T{G(^θ,^ψ)}2/H(^θ,^ψ) (21)记x2α(1)为取明显性水平α的自由度为1的x2分布的上侧临界值,假如W≥x2α(1),则拒绝Y对X的非因果性假设.通过利用式(19),单方向因果测度G(θ,ψ)的(1—α)%置信区间为 (G(^θ,^ψ)- (1/T)H(^θ,^ψ)x2α(1), G(^θ,^ψ)+ (1/T)H(^θ,^ψ)x2α(1))(22)作者提出的沃尔德统计量及因果测度的置信域的计算机制仅仅依靠于单方向因果测度及协整自回归模型的参数,所以上述关于单方向因果测度的讨论都可应用于长期因果测度DY→X(δ)或局部因果测度DY→X(t1,t2)的统计检修.(责任编辑：会计论文)>
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(责任编辑：会计论文)
摘要:综述可有效阐明动态经济系统长期关系和因果关系的因果测度理论.首先扼要先容多变量时间序列的协整过程及与此相关的若干概念,并总结了在经济计量学领域评价较高的多变量自回归模型的统计识别策略.基于计量经济学论文多变量时间序列协整过程的向量自回归模型,较具体讨论了多变量时间序列间各种因果测度的定义及其沃尔德检修.所述单方向因果测度及其统计检修理论作为C?W.J.Granger非因果性理论的扩张,不仅可以检修两组时间序列间的因果影响存在与否,还可以定量描述影响的程度.单方向因果测度理论为浅析浅析复杂经济系统提供了一种有效手段.
枢纽词:动态经济系统;经济计量模型;协整浅析浅析;长期经济关系;因果关系
Abstract:In this paperwe mainly discuss the one_way effect causal measureswhich can be applied tothe analysis oflong_run and short_run aswell as causal characteristics of dynamic economic system. We first summarized the relat-ed concepts of cointegration, and then showed the procedure of cointegratedmodel identification. Based on the iden-tified error correction model, we discussed causal measures in time domain and frequency domain. The presentedWald test of the causal measure is incorporation Johansen’s algorithm for the maximum likelihood estimates and thelikelihood ratio tests. Usingthe Wald statistics, the paper also showed the computational algorithmof confidence_setconstruction for the overall causal measures. For the purposes of testing long_run or short_run characterization ofcausal relation, a varietyof causal measures are introduced bymeans ofthe integral ofthe frequency_wise measure ofone_way effect on specific frequency bands. In contract to the conventional tests of Granger’s non_causality whichamount to testing the hypothesis of zero restriction of a certain set of autoregressive coefficients, the approach of thispaper enables us to test not only Granger’s non_causality but also the strength of the one_way effect. The one_wayeffect causal analysis can be considered as an effective approach for the investigation of complex economic system.
Key words:dynamic economic system; econometric model; cointegration analysis; long_run economic relationship;causal relationship
引 言
经济流动的高度国际化及科学技术提高的加速,影响社会经济发展的因素变得繁多复杂,经济发展日趋不不乱.表现在现实出产流动中的主要现象是所观测到的很多经济统计指标时间序列都表现出了非平稳性.传统的统计学和经济计量浅析浅析策略几乎无法充分揭示如斯复杂的动态经济系统的运行机制及正确猜测未来.时间序列因果关系浅析浅析理论有助于阐明动态经济系统各主要指标间的复杂关系,进步猜测精度及效率.这是制定有效的经济调控政策,确保经济高速不乱发展的条件.尽管时间序列浅析浅析策略理论比较复杂,但现代计算机技术的高度发展保证了有效地将其应用于现实经济题目的实证浅析浅析.研究表明协整时间序列单方向因果测度理论不失为浅析浅析复杂经济系统的一种有效手段.为探讨两组时间序列间因果作用的方向性及反馈的存在性,格兰杰(Granger)[1]提出了非因果性概念.非因果性作为评价猜测效果的一个统计尺度,基于两个最基本假设:1)理由老是在结果之前;2)未来不影响过去.考虑平稳时间序列X(t)和Y(t),记U(t)为猜测X(t)时可以利用的所有信息,则{U(t)- Y(t)}为猜测X(t)时除去Y(t)以外的所有可利用信息.令U[1](t)表示U(t)的过去值,即{U(t-j);j=1,2,…,∞},记σ2(X | U[1])和σ2(X | (U- Y)[1])分别为利用{U(t)}和{U(t)- Y(t)}猜测平稳过程X(t)所产生的最小二乘无偏估计残差序列的方差.假如σ2(X | U[1]) <σ2(X | (U- Y)[1]),称在格兰杰意义下Y(t)引起X(t),表记为Y(t) X(t).也就是说,Y(t)引起X(t)意味着引入Y(t)的信息可更有效地猜测X(t).换句话说.假如Y(t)不在格兰杰意义下引起X(t),即σ2(X| U[1])≥σ2(X|(U- Y)[1]),则Y(t)无助于猜测X(t).关于多变量时间序列间非因果性的统计检修,两个早期研究值得一提.一个是格兰杰的平稳向量自回归(VAR)模型回归系数的零检修,另一个是西姆斯(Sims,1972)的关于二变量平稳移动均匀(MA)过程有关系数的零检修.近30年来国收稿日期:2002-01-25;修订日期:2002-06-12.基金项目:日本文部科学省1998—2000年度科研费资助项目(国际学术研究10045016)?作者简介:姚 峰(1960—),男,经济学博士,香川大学经济学部教授.外学者固然在这一研究领域取得了一些重要成果,但到目前为止几乎所有的研究都仅局限于格兰杰的非因果性.为了定量描述多变量时间序列间单方向因果关系,细谷(Hosoya)[2,3]分别定义了频谱域和时间域的三个因果测度,依次有效地描述了非确定趋势二阶平稳过程和非平稳过程内部变动的相互依存关系,奠定了单方向因果浅析浅析(one_way effect causal analysis)的理论基础.为了研究非平稳宏观经济时间序列的长期均衡关系以及因果关系,姚和细谷(Yao andHosoya)[8]研究了多变量协整过程单方向因果测度的计算机制题目,并首先将单方向因果测度应用于日本宏观经济的实证浅析浅析.为检修听从协整过程的时间序列间的因果测度并给出其信赖域,Yao and Hosoya[9]给出了单方向因果测度的沃尔德统计量(Wald statistic),从根本上解决了将单方向因果测度应用于浅析浅析复杂动态经济系统的基础理论题目.与格兰杰等人的非因果性检修不同的是,所提出的单方向因果测度及其沃尔德检修,可以从统计学的意义上检修听从多变量非平稳协整(包括平稳)过程的时间序列间任意大小的因果测度的明显性,格兰杰非因果性检修只是我们所定义的全测度(overall measure of one_way effect,OMO)为零的统计检修的一个特例.也就是说,我们不仅可以检修时间序列间的因果关系存在与否,还可以检修单方向因果影响的强度.另外,通过对定义在频谱区间(-π,π]内的单方向频谱测度(frequency_wise measure of one_way effect,FMO)在特定谱域上积分所得到的局部测度,也可探讨多变量时间序列间的长期或短期因果关系.限于篇幅,有关因果浅析浅析的其他理论研究及因果测度在实证经济浅析浅析中的应用等具体内容,可参阅Hosoya and Yao (1999).本文使用了以下通用的数学记号及算子定义.记IP为p阶单位矩阵,1p为所有元素都是1的p维向量.A*指复数矩阵A的共轭转置;假如A为实数矩阵,则A*表示一般意义下的转置矩阵.对于随机向量X或一组随机向量X和Y,cov(X)和cov(X,Y)分别表示X和(X,Y)的协方差矩阵.矩阵C的迹(trace)记为trC,而其行列式记为detC.滞后算子L定义为Lxt= xt-1;差分算子记为Δ=1-L.1 协整过程及自回归模型的统计识别记ω(t)为白噪声过程,考虑天生于y(t) =ɑy(t-1)+ω(t) (t =1,2,…)(1)的单变量时间序列{y(t)}.当ɑ=1时,称由式(1)所天生的时间序列y(t)听从单位根过程.由于此时式(1)相称于Δy(t) =ω(t),有时也称y(t)听从一阶积分过程(integrated of order one),记为y(t)~I(1).通常称平稳过程或白噪声过程为0阶积分过程.对于非平稳时间序列y(t),假如存在正整数k使得Δjy(t)非平稳(j =1,2,…,k-1),但是Δky(t) ~ I(0),则称y(t)为k阶积分过程,记为y(t) ~ I(k).不管理论研究仍是探讨实证浅析浅析题目,当涉及非平稳过程时,人们通常把留意力集中在单位根过程,即I(1)过程.之所以如斯是由于在现实的社会经济流动中,固然有很多统计指标的时间序列表现出非平稳特点,但经一次差分变换后这些非平稳时间序列近似地听从平稳过程.非平稳时间序列的协整(亦称共积)过程可视为知足一定前提的向量单位根过程.对于一个p维向量时间序列Z(t),假如其每个元素都是I(1),即非平稳含单位根过程,而存在某个非零p维向量β1使得各序列的线性组合β*1Z(t)为平稳过程或β*1Z(t) ~ I(0),则称Z(t)为协整的.非平稳多变量时间序列Z(t)听从协整过程,意味着尽管诸多因素引起Z(t)的各元素相对独立地变化,但存在线性组合β*1Z(t)将Z(t)的各个要素联系在一起,这一联系揭示了Z(t)各元素间内在的长期均衡关系.在此情形下,称β1为非平稳过程Z(t)的协整向量.显然,非平稳过程Z(t)存在协整关系时,协整向量不是独一的.任何非零常数与协整向量相乘都给出一个新的协整向量.因此,一般都要对协整向量施以相应的尺度化.另外,假如存在r (r < p)个线性无关的p维向量β= (β1,β2,…,βr),使得β*Z(t)为r维平稳过程,则Z(t)的元素间存在r个协整关系,而(β1,β2,…,βr)称为协整向量空间的基.动态经济系统浅析浅析的经济计量模型与策略约翰森(Johansen,1991)提出的完全信息极大似然法,可以浅析浅析识别协整过程的似然比检修理论及其他参数的一般最小二乘估计题目.用这一策略估计协整系统的相应参数,一方面可避开因施加特定的制约前提导致模型的错误设定,另一方面可更一般地检修存在多个协整关系的零假设[5,10].研究时间序列浅析浅析中广泛应用的p维AR(a)过程Z(t)ΔZ(t) =ΠZ(t-1)+∑ɑ-1k=1Γˉ(k)ΔZ(t-k)+μ+ΦP(t)+ε(t) (2)其中:ε(t)(t =1,…,T)为均值为零协方差矩阵Σ的p维白噪声过程;μ是p维向量;P(t)是(sd-1)维化季节虚拟变数向量,sd是季节周期数,对于季度统计数据,sd=4.随机过程Z(t)具有相互独立的r个协整关系的假设为H(r)∶Π=αβ*(3)α,β是p×r阶满秩矩阵(r≤p),使得式(2)中Z(t-1)的系数矩阵的秩数为r,即rɑnk(Π) =r.r亦称为随机过程Z(t)的协整阶数.假如r =0,则式(2)退(责任编辑：会计论文)>上海经济论文化为单位根过程.假如r = p,则Π为满秩矩阵,Z(t)为平稳随机过程.可见,在有r个协整关系的假设下,只有Z(t-1)水平上的r个不同的线性限制β*Z(t-1)泛起在模型中.在Π=αβ*的假设下,模型(2)称为误差修正模型(ECM),β*Z(t-1)以速度α将动态系统调整向均衡过程.记R0(t)和R1(t)分别为将Z(t -1)在ΔZ(t-1),…,ΔZ(t-k+1),1p,P(t)上回归所产生的残差序列,p×p阶矩阵Sij(i,j =0,1)为R0(t)和R1(t)的方差协方差矩阵,Sij=T-1∑Tt=1Ri(t)Rj(t)*.协整个数r和协整向量β的极大似然估计的计算过程如下:1)首先解λ的p阶矩阵方程|λS11-S10S-100S01|=0,给出降序排列的特点根1>λ1>λ2>…>λp>0,以及对应的特点向量矩阵V=(V1,V2,…,Vp),并使V知足尺度化关系V*S11V= I.2)识别听从p维协整过程的统计模型的枢纽在于检修λ1,λ2,…,λp中有多少个非零特点根.在Z(t)的元素中有r个协整关系的零假设H(r)下,模型参数β的极大似然估计为β= (V1,V2,…,Vr).零假设H(r)对H(p)的对数似然比检修统计量τtrɑct(r)称为迹统计量,简记为τ(r) =-T∑pi=r+1ln(1-λi) (4)统计量τ(r)的渐近分布长短尺度的,统计检修的临界值表需要通过蒙特卡洛实验给出.在几乎没有把握关于r的事前信息的情况下,一般按如下步骤确定协整个数r^ :对给定的明显性水平α,记τ(i |1-α)为τ(i)的置信度为(1-α)的理论值,^τ(i)为τ(i)的观测值,i =1,2,…,p.假如^τ(0)<τ(0|1-α),取r^ =0;对于r=1,…,p-1,取r^为第一个r,使其知足^τ(r-1)>τ(r-1|1-α),并且^τ(r)<τ(r|1-α);假如不存在这样的r,则取r^ = p.在实证经济浅析浅析中通常还要考虑各指标间的经济学意义下的关系.另外,为了将单方向因果测度及其沃尔德统计检修理论应用于宏观经济浅析浅析,要求建立能充分反映样本观测值的动态过程的模型.为避开模型的误导,往往还要对被识别的向量自回归模型的残差序列进行非自相关性以及正态性等检修.
2 单方向因果测度
2.1 平稳过程的单方向因果测度定义单方向因果测度的基本思路,源于平稳随机过程的猜测理论.假设{U(t),V(t) | t =1,…,∞}是均值为零的平稳过程,而U(t)和V(t)分别是p1和p2维的实值向量(p = p1+p2).记{U(t),V(t)}的p×p阶谱密度函数矩阵为f(λ) =f11(λ)f12(λ)f21(λ)f22(λ),-π<λ≤π其中:f11(λ)是{U(t)}的p1×p1阶谱密度函数矩阵;f12(λ)是{U(t)}和{V(t)}的p1×p2阶交差谱密度函数矩阵.假如f(λ)知足∫π-πlog detf(λ)dλ>-∞,则谱密度函数矩阵f(λ)可分解为f(λ) =12πΛ(e-iλ)*,其中:Λ(e-iλ)是复平面单位圆{z∶|—76—管 理 科 学 学 报2003年4月z |<1}内无根的p×p阶矩阵值剖析函数Λ(z)的边界值.V(t)单方向影响猜测U(t)的成分是在格兰杰意义上影响U(t)但不受反馈影响的成分,可以从V(t)中将其分解出来,记为V0,-1(t)[2].记{U(t),V(t)}的一期猜测误差方差协方差矩阵Σ的p1和p2阶分块矩阵为Σij,则{V0,-1(t)}的协方差矩阵为Σ22-Σ21Σ-111Σ12,而随机过程{U(t),V0,-1(t)}的谱密度矩阵可表述为p1和p2阶分块矩阵~f(λ) =~f11(λ)~f12(λ)~f21(λ)~f22(λ)~f11(λ) = f11(λ);~f21(λ) = {-Σ21Σ-111,Ip2}Λ(0)Λ(e-iλ)-1.f?1(λ),f?1(λ)是矩阵f(λ)的最初p1列;~f22(λ)=12π{Σ22-Σ21Σ-111Σ12}.基于格兰杰的因果概念,定义V对U的单方向谱域因果测度(FMO)为MV→U(λ) =log[detf11(λ)/det{f11(λ)-~f12(λ)~f-122(λ)~f21(λ)}] (5)因此,V对U的单方向全测度(OMO)可表述为MV→U=12π∫π-πMV→U(λ)dλ(6)在格兰杰非因果性意义下, {V(t)}不引起{U(t)}的充分必要前提是MV→U=0.2.2 非平稳过程的单方向因果测度为了将非确定趋势平稳过程的因果测度理论扩展到非平稳过程时间序列,考查由A(L)X(t)Y(t)=U(t)V(t)A(L) =∑lj=0A11,jLj 00 ∑lj=0A22,jLj天生的非平稳随机过程{X(t),Y(t)}.其中,{U(t),V(t)}是如前定义的平稳过程,p×p的滞后算子多项式矩阵A(L)知足A11,0= Ip1,A22,0=Ip2,l为正整数.由于{X(t),Y(t)}的单方向因果关系结构完全取决于可猜测性,所以其单方向因果关系结构与{U(t),V(t)}的单方向因果关系结构一致.也就是说,{X(t)}和{Y(t)}之间的OMO和FMO与其天生过程{U(t)}和{V(t)}之间的OMO和FMO完全一致.这是将平稳过程的单方向因果测度理论扩展到非平稳过程的基本思惟.在一定前提下,可以证实{Y(t)}不引起{X(t)}的充分必要前提是{V(t)}不引起{U(t)}.因此有定义1 时间序列{Y(t)}对{X(t)}单方向全测度和频谱域测度分别定义为MY→X≡MV→U和MY→X(λ)≡MV→U(λ)2.3 协整过程的单方向因果测度为了将以上讨论的单方向因果测度理论应用于复杂动态经济系统的实证浅析浅析,接下来讨论ɑ阶p维向量自回归过程Z(t) = (X(t)*,Y(t)*)*.Z(t) =∑ɑj=1Π(j)Z(t-j)+ε(t) (t =0,1,…) (7)其中:Π(j)(j=1,2,3,…,ɑ)是p×p阶系数矩阵;{ε(t)}是p维白噪声过程,且E(ε(t)) =0,cov(ε(t)) =Σ,rɑnkΣ= p?设A(L) = Ip-∑ɑj=1Π(j)Lj,detA(z)的复数解全在单位圆周上或在单位圆之外.假如用C(L)表示A(L)伴随矩阵,则C(L)A(L)≡D(L).D(L)是对角矩阵,并且其共同的对角元素d(L)≡detA(L) =∑bj=0djLj,d(L)作为具有标量系数滞后算子多项式使得d0=1,且z的多项式函数∑bj=0djzj的复数解全在单位圆周上或在单位圆之外.由等式(7)可得A(L)Z(t) =ε(t)对等式两边左乘C(L),可得d(L)Ip1 0 0 d(L)Ip2X(t)Y(t)= C(L)ε(t)≡U(t)V(t)(8)这里,U(t)和V(t)分别为p1和p2维随机向量.基于以上的构造,{U(t),V(t)}为平稳移动均匀过程.因此,根据定义1,非平稳过程{X(t),Y(t)}的单方向测度完全由平稳过程{U(t),V(t)}的对应因果测度所确定.由于detC(z)的复数解全在单位圆周上或在单位圆之外,{X(t),Y(t)}的一期猜测误差的协方差矩阵为Σ,由式(8)天生时间序列{X(t),Y(t)}的平稳随机过程的频谱响应函数Λ(e-iλ)和谱密度矩阵f(λ)分别为Λ(e-iλ) = C(e-iλ)Σ1/2(9)f(λ) =12πΛ(e-iλ)Λ(e-iλ)*(10)其中:协方差矩阵Σ的乔利斯基因子(Choleskyfactor)Σ1/2知足Σ=Σ1/2(Σ1/2)*.利用式(10)定义的谱密度函数f(t),时间序列{X(t)}和{Y(t)}之间的单方向因果测度可以通过式(5)和(6)计算.2.4 其他因果测度的定义基于{X(t)}和{Y(t)}之间的OMO和FMO,可以给出很多反映长期或短期因果关系的单方向因果测度.假如MY→X≠0,对于比较小的正数δ,单方向因果影响的长期贡献度可表记为定义于一低频区间(-δ,δ]的测度DY→X(δ) =1π∫δ0MY→X(λ)dλ/MY→X(11)有些情况下,可能对特定时间周期带[t1,t2](2≤t1< t2)的因果影响相对贡献度更感爱好,可以将测度函数定义为DY→X(t1,t2) =1π∫2π/t12π/t2MY→X(λ)dλ/MY→X(12)这里,利用了时间t和频率λ(λ>0)的关系式t =2π/λ.由于单方向因果测度非负,假如MY→X<∞,则DY→X(δ)和DY→X(t1,t2)(2≤t1< t2)在区间[0,1]内取值.长期因果影响的程度也可以计算.例如,利用定义DY→X(δ) =1δ∫δ0MY→X(λ)dλ(13)的长期因果测度(低频域频谱测度FMO的均值)浅析浅析两组时间序列间的长期因果关系.为了评价周期带[t1,t2]上的单方向全因果测度,可利用局部因果测度DY→X(t1,t2) =t1t22π(t2- t1)∫2π/t12π/t2MY→X(λ)dλ(14)由以上定义可知,DY→X(δ)和DY→X(t1,t2)均为非负测度函数.观测值DY→X(δ)比较小时,通常表示不存在Y对X的单方向长期因果影响.比较小的观测值DY→X(t1,t2)通常表明在时间周期带[t1,t2]内不存在Y对X的单方向影响.不管在哪种情况下,评价基于观测值估计的单方向因果测度,都需要严格的统计检修.(责任编辑：会计论文)>
3 单方向因果测度的统计检修向量算子vec将m×n阶矩阵A转换为m?n维向量,其构成方式是将矩阵A的各列首尾顺次连接起来.对于对称矩阵A(m= n时),向量算子v将向量vecA中的原本为矩阵A的上三角元素全部除去后所得n(n+1)/2维向量.矩阵算子 表示克罗奈克内积.考虑天生于下式的p维I(1)随机过程{Z(t)} = {X(t)*,Y(t)*}*ΔZ(t)=αβ*Z(t-1)+∑ɑ-1k=1Γ(k)ΔZ(t-k)+ μ+ΦP(t)+ε(t) (15)设θ为β的元素构成的r?p维向量,θ=vecβ*.记nψ=p?(r+p?(ɑ-1))+p?(p+1)/2,设ψ为由α和Γ(j)(j=1,2,…,ɑ-1)的元素以及除去Σ的上三角元素构成的nψ维向量,即ψ=vec(vec(α,Γ)*,v(Σ)),Γ= {Γ(1),Γ(2),…,Γ(ɑ-1)}.v(Σ)是由协方差矩阵Σ中不重复元素构成的p?(p+1)/2维向量.基于模型(15),可知天生非平稳随机过程{Z(t)}的平稳过程的谱密度矩阵函数f(λ|θ,ψ)具有典型分解f(λ|θ,ψ) =12πΛ(e-iλ|θ,ψ)?Λ(e-iλ|θ,ψ)*(16)其中:频谱响应函数Λ(e-iλ|θ,ψ) = C(e-iλ|θ,ψ)Σ1/2,C(e-iλ|θ,ψ)是模型参数构成的复数值矩阵多项式Ip-e-iλ(Ip+αβ*)-∑ɑ-1j=1Γ(j)(e-ijλ-e-i(j+1)λ)的伴随矩阵.利用谱密度矩阵函数f(λ|θ,ψ),可以根据式(5)计算{Y(t)}对{X(t)}的单方向因果测度MY→X(λ|θ,ψ),进而可以定义作为(θ,ψ)的函数的单方向全测度OMOG(θ,ψ) =12π∫π-πMY→X(λ|θ,ψ)dλ(17)这种情况下,假设G(θ,ψ)是关于参数(θ,ψ)的可微分函数.假如(θ,ψ)是模型参数的真值,(^θ,^ψ)是其—78—管 理 科 学 学 报2003年4月极大似然估计值,则当样本数T→∞时,T(^θ-θ)渐近听从多变量混合正态分布, T(^ψ-ψ)渐近听从多变量正态分布.通过泰勒级数展开,可以证实G(^θ,^ψ)是G(θ,ψ)的依照T收敛的一致估计.进一步可知, T{G(^θ,^ψ)- G(θ,ψ)}渐近听从均值为零,协方差矩阵为H(θ,ψ) = DψG(θ,ψ)*Ψ(θ,ψ)?DψG(θ,ψ) (18)的多变量正态分布,DψG是G(θ,ψ)的偏导函数构成的nψ维向量,而Ψ(θ,ψ)是T(^ψ-ψ)的协方差矩阵.因此,单方向因果测度G(θ,ψ)的沃尔德统计量W≡T{G(^θ,^ψ)-G(θ,ψ)}2/H(^θ,^ψ) (19)渐近听从自由度为1的x2分布.评价取值为(^θ,^ψ)的G(θ,ψ)对ψ的偏微分DψG(θ,ψ),可采用数值微分Gψi≈{G(^θ,^ψ+hi)-G(^θ,^ψ-hi)}/(2h) i =1,2,…,nψ(20)式中:hi是nψ维向量,其第i个元素为h,并且所有其他元素为零;h是充分小的正数.式(18)中协方差矩阵Ψ(θ,ψ)的数值计算,可按如下方式进行.设ψ(1)=vec{α,Γ},ψ(2)=vec(μ,Φ),ψ(3)= v(Σ),并设ψ(12)=vec(ψ(1),ψ(2)).记D为p2×p?(p+1)/2阶复制矩阵,D+为矩阵D的Moore_Penrose转置矩阵[6],^ψ(12)和^ψ(3)分别为ψ(12)和ψ(3)的极大似然估计.可以证实模型参数向量T{^ψ(12)-ψ(12)}和T(^ψ(3)-ψ(3))的渐近协方差矩阵为^Σ Q^-10 0 2D+(^Σ ^Σ)D+*其中:Q^ =limT→∞(1/T)∑Tt=1S^ (t)S^ (t)*,而S^ (t) =vec(^β*Z(t-1),ΔZ(t-1),…,ΔZ(t-ɑ-1),1p,P(t)).T(^ψ(1)-ψ(1))的渐近协方差矩阵,即Ψψ(1)ψ(1)是除去^Σ Q^-1中对应于T(^ψ(2)-ψ(2))的行和列余下的子矩阵.事实上,可以将(p?(r + p?(ɑ-1)) + p?sd)阶对称矩阵^Σ Q^-1写成p×p的分块矩阵形式,所有的子矩阵^σijQ^-1(i,j=1,2,…,p)都是(r+p?(ɑ-1)+sd)阶的正方矩阵.协方差矩阵Ψψ(1)ψ(1)由除去子矩阵^σijQ^-1中最后sd列和最后sd行所余子矩阵构成.假如^Ψψ(1)ψ(1)是在点(^θ,^ψ)评价T(^ψ(1)-ψ(1))的协方差矩阵,则^Ψψ(1)ψ(1) 0 02D+(^Σ ^ΣD+*)可以作为Ψ(θ,ψ)的一致估计.通过式(18)和(20),可以得到协方差估计H^ = H(^θ,^ψ).记G01为已知标量,单方向因果测度的零假设为G(θ,ψ)= G01,统计检修可由式(19)定义的沃尔德统计量W进行.为检修格兰杰的非因果性,仅需取G01=0,此时沃尔德统计量将简化为W= T{G(^θ,^ψ)}2/H(^θ,^ψ) (21)记x2α(1)为取明显性水平α的自由度为1的x2分布的上侧临界值,假如W≥x2α(1),则拒绝Y对X的非因果性假设.通过利用式(19),单方向因果测度G(θ,ψ)的(1—α)%置信区间为 (G(^θ,^ψ)- (1/T)H(^θ,^ψ)x2α(1), G(^θ,^ψ)+ (1/T)H(^θ,^ψ)x2α(1))(22)作者提出的沃尔德统计量及因果测度的置信域的计算机制仅仅依靠于单方向因果测度及协整自回归模型的参数,所以上述关于单方向因果测度的讨论都可应用于长期因果测度DY→X(δ)或局部因果测度DY→X(t1,t2)的统计检修.(责任编辑：会计论文)>
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